Абхазский научный центр Российской академии космонавтики им. К.Э. Циолковского | Р.А.Камлия

Работа посвящена теореме Ферма. Рассмотрены различные свойства и соотношения чисел, которые могли бы удовлетворять уравнению Ферма. Рассмотрены вопросы разложимости степенных вычетов в сумму двух степенных вычетов и показаны свойства Пифагоровых чисел. Доказаны ряд новых теорем, с использованием которых доказывается теорема Ферма, пользуясь исключительно методами элементарной теории чисел. Предназначена для специалистов и студентов, занимающихся теорией чисел.

Данное исследование является результатом многолетней работы. Различные подходы к доказательству теоремы Ферма дали ряд результатов, не все из которых в конечном счете используются при доказательстве теоремы. Они могут иметь самостоятельный интерес.

Среди математиков существует спор – ошибался или нет Пьер Ферма утверждая, что нашел оригинальный способ доказательства теоремы.

Формулировка теоремы, которую дал сам Пьер Ферма, приведена в книге П. Рибенбойма “Последняя теорема Ферма”. Она гласит: невозможно разложить куб на два куба, биквадрат - на два биквадрата, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму двух таких же степеней.

Как увидим в данной работе, доказательство теоремы Ферма осуществляется через разложимость степенных вычетов в сумму двух степенных вычетов.

Если имеет место  разложимость степенного вычета по модулю простого числа, то разложим любой степенной вычет, но это не означает, что любая сумма двух степенных вычетов есть степенной вычет.

Есть основание полагать, что Ферма анализируя вопросы разложимости степенных вычетов пришел к своему выводу и поэтому дал именно такую формулировку теоремы.

В данной работе через разложимость квадратичных вычетов показано, что любая тройка Пифагоровых чисел содержит число кратное 3 и число кратное 5.

Свойства и соотношения чисел, удовлетворяющих уравнению Ферма, если оно вообще выполнимо, посвящен  §1. Используя Теорему1 и Теорему1А можно получить известные формулы Абеля.

Замеченные свойства сравнений Эйлера и Ферма выделены в отдельный параграф §2.

Некоторые свойства степенных вычетов получены с использованием матрицы вычетов. Они изложены в §3.

Далее в §4, §5  рассмотрены свойства степенных вычетов и разложимость степенных вычетов в сумму двух степенных вычетов.

Доказательство теоремы Ферма  приведено в §6. Два подхода к доказательству согласуются между собой.

Различные попытки доказать теорему Ферма сформировали содержание работы.

При написании работы не ставилось целью систематическое изложение каких то вопросов, в том числе и вопросов разложимости степенных вычетов.

Теорема Ферма и разложимость степенных вычетов Камлия Р.А.